Wirkt auf ein Teilchen nur eine elastische, d.h. zur Auslenkung proportionale und ihr entgegengesetzte Rückstellkraft (F = -D·x), vollführt das Teilchen eine sinusförmige Schwingung:

Die Lösung der Gleichung ist

x(t) = c₁·cos(w·t) + c₂·sin(w·t)    bzw.

x(t) = A·cos(w·t + j), wobei

Wenn außerdem noch eine Reibungskraft (F = -R·v) wirkt, die der Teilchengeschwindigkeit entgegengerichtet ist, ist die Schwingung gedämpft.

Die Lösung der Gleichung ist

Je nachdem, ob der Ausdruck unter der Wurzel größer, kleiner oder gleich Null ist, ergeben sich folgende Lösungen:

a. Kriechfall:

b. Schwingfall:

c. Aperiodischer Grenzfall:

Beispieltabellen:

federpendel.xls
schwingung.xls

Erweiterungen und Ausblicke:

• Versuchsaufbau:

  Masseteilchen an Spiralfeder taucht in Flüssigkeit ein -> Stokes-Reibung:
  F = -6p h r v

• Praxisbezug: Autostoßdämpfer auf den aperiodischen Grenzfall eingestellt.
• Reibungskraft:

  - Stokes-Reibung: proportional zur Geschwindigkeit -> Amplitude nimmt mit e-Funktion ab
  - Coulomb-Reibung: unabhängig von der Geschwindigkeit -> Amplitude nimmt linear ab
  - Newton-Reibung: proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit -> Amplitude nimmt hyperbolisch ab
  - Schmiermittel-Reibung: proportional zur Wurzel aus der Geschwindigkeit -> Amplitude nimmt parabolisch ab

• Vergleich zwischen mechanischem und elektromagnetischem Schwingkreis:
  Genau wie im mechanischen Modell, bei dem die Reibung die Schwingung dämpft, wirken beim elektromagnetischen Schwingkreis die Ohm'schen Widerstände R von Spule und Leitungen als Energieverlustquellen.

  Mechanischer Schwingkreis	Elektromagnetischer Schwingkreis
  ungedämpft:
  x(t) = A·cos(w·t)	U(t) = U0·cos(w·t) I(t) = I0·sin(w·t) (Strom durch Spule um 90° phasenverschoben!)
  gedämpft:
  m: Masse des Teilchens R: Reibungskonstante D: Rückstellkonstante der Feder	L: Induktivität der Spule R: Ohm'scher Widerstand C: Kapazität des Kondensators

• Versuchsaufbau: Gedämpfte elektromagnetische Schwingung

• Erzwungene Schwingungen (z.B. Meißner'sche Rückkopplungsschaltung)